Ensembles finis Exemples

$m^{\frac{2}{3}} + 3 m^{\frac{1}{3}} + 8 = 0$

Étape 1

Déterminez un facteur commun $m^{\frac{1}{3}}$ présent dans chaque terme.

${(m^{\frac{1}{3}})}^{2} + 3 m^{\frac{1}{3}} + 8$

Étape 2

Remplacez $m^{\frac{1}{3}}$ par $u$ .

${(u)}^{2} + 3 (u) + 8 = 0$

Étape 3

Résolvez $u$ .

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Étape 3.1

Multipliez $3$ par $u$ .

$u^{2} + 3 u + 8 = 0$

Étape 3.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Étape 3.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.3

Soustrayez $32$ de $9$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$u = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$

Étape 3.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 4

Remplacez $u$ par $m$ .

$m^{\frac{1}{3}} = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 5

Résolvez $m^{\frac{1}{3}} = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$ pour $m$ .

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Étape 5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(m^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 5.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez ${(m^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(m^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$m^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 5.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$m^{1} = {(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez

$m = {(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez ${(- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$ .

$m = {(- 1)}^{3} {(\frac{3 - i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 - i \sqrt{23}}{2}$ .

$m = {(- 1)}^{3} \frac{{(3 - i \sqrt{23})}^{3}}{2^{3}}$

Étape 5.2.2.1.2

Évaluez les exposants.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$m = - \frac{{(3 - i \sqrt{23})}^{3}}{2^{3}}$

Étape 5.2.2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$m = - \frac{{(3 - i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$m = - \frac{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$m = - \frac{27 + 3 \cdot 3^{2} (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.2.1.4.1.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$m = - \frac{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$m = - \frac{27 + 3^{1 + 2} (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$m = - \frac{27 + 3^{3} (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$m = - \frac{27 + 27 (- i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $27$ .

$m = - \frac{27 - 27 (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 {(- i \sqrt{23})}^{2} + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.2.1.4.1.6.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 ({(- i)}^{2} {\sqrt{23}}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.6.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 ({(- 1)}^{2} i^{2} {\sqrt{23}}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (1 i^{2} {\sqrt{23}}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.8

Multipliez $i^{2}$ par $1$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (i^{2} {\sqrt{23}}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.9

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 {\sqrt{23}}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.10

Réécrivez ${\sqrt{23}}^{2}$ comme $23$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1.10.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{23}$ comme $23^{\frac{1}{2}}$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 {(23^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.10.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.10.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.10.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1.10.4.1

Annulez le facteur commun.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{2}{2}}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.10.4.2

Réécrivez l’expression.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{1}) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.10.5

Évaluez l’exposant.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23) + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.11

Multipliez $9 (- 1 \cdot 23)$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1.11.1

Multipliez $- 1$ par $23$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} + 9 \cdot - 23 + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.11.2

Multipliez $9$ par $- 23$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + {(- i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.12

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 5.2.2.1.4.1.12.1

Appliquez la règle de produit à $- i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + {(- i)}^{3} {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.12.2

Appliquez la règle de produit à $- i$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + {(- 1)}^{3} i^{3} {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.13

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 - i^{3} {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.14

Factorisez $i^{2}$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 - (i^{2} \cdot i) {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.15

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 - (- 1 \cdot i) {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.16

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 - - i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + 1 i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.18

Multipliez $i$ par $1$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.19

Réécrivez ${\sqrt{23}}^{3}$ comme $\sqrt{23^{3}}$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i \sqrt{23^{3}}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.20

Élevez $23$ à la puissance $3$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i \sqrt{12167}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.21

Réécrivez $12167$ comme $23^{2} \cdot 23$ .

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Étape 5.2.2.1.4.1.21.1

Factorisez $529$ à partir de $12167$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i \sqrt{529 (23)}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.21.2

Réécrivez $529$ comme $23^{2}$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i \sqrt{23^{2} \cdot 23}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.22

Extrayez les termes de sous le radical.

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + i (23 \sqrt{23})}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.1.23

Déplacez $23$ à gauche de $i$ .

$m = - \frac{27 - 27 i \sqrt{23} - 207 + 23 i \sqrt{23}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.2.1.4.2.1

Soustrayez $207$ de $27$ .

$m = - \frac{- 27 i \sqrt{23} - 180 + 23 i \sqrt{23}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.2.2

Additionnez $- 27 i \sqrt{23}$ et $23 i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{- 4 i \sqrt{23} - 180}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.2.3

Remettez dans l’ordre $- 4 i \sqrt{23}$ et $- 180$ .

$m = - \frac{- 180 - 4 i \sqrt{23}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.2.4

Annulez le facteur commun à $- 180 - 4 i \sqrt{23}$ et $8$ .

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Étape 5.2.2.1.4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 180$ .

$m = - \frac{4 (- 45) - 4 i \sqrt{23}}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{4 (- 45) + 4 (- i \sqrt{23})}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 45) + 4 (- i \sqrt{23})$ .

$m = - \frac{4 (- 45 - i \sqrt{23})}{8}$

Étape 5.2.2.1.4.2.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.2.1.4.2.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$m = - \frac{4 (- 45 - i \sqrt{23})}{4 \cdot 2}$

Étape 5.2.2.1.4.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$m = - \frac{4 (- 45 - i \sqrt{23})}{4 \cdot 2}$

Étape 5.2.2.1.4.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$m = - \frac{- 45 - i \sqrt{23}}{2}$

Étape 5.2.2.1.4.2.5

Réécrivez $- 45$ comme $- 1 (45)$ .

$m = - \frac{- 1 (45) - i \sqrt{23}}{2}$

Étape 5.2.2.1.4.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{- 1 (45) - (i \sqrt{23})}{2}$

Étape 5.2.2.1.4.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (45) - (i \sqrt{23})$ .

$m = - \frac{- 1 (45 + i \sqrt{23})}{2}$

Étape 5.2.2.1.4.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.4.2.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$m = - - \frac{45 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 5.2.2.1.4.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = 1 \frac{45 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 5.2.2.1.4.2.8.3

Multipliez $\frac{45 + i \sqrt{23}}{2}$ par $1$ .

$m = \frac{45 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6

Résolvez $m^{\frac{1}{3}} = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$ pour $m$ .

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Étape 6.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(m^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 6.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez ${(m^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(m^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 6.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$m^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 6.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$m^{1} = {(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez

$m = {(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez ${(- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 6.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$ .

$m = {(- 1)}^{3} {(\frac{3 + i \sqrt{23}}{2})}^{3}$

Étape 6.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3 + i \sqrt{23}}{2}$ .

$m = {(- 1)}^{3} \frac{{(3 + i \sqrt{23})}^{3}}{2^{3}}$

Étape 6.2.2.1.2

Évaluez les exposants.

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Étape 6.2.2.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$m = - \frac{{(3 + i \sqrt{23})}^{3}}{2^{3}}$

Étape 6.2.2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$m = - \frac{{(3 + i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.3

Utilisez le théorème du binôme.

$m = - \frac{3^{3} + 3 \cdot 3^{2} (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.1.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$m = - \frac{27 + 3 \cdot 3^{2} (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.2

Multipliez $3$ par $3^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.2.1.4.1.2.1

Multipliez $3$ par $3^{2}$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$m = - \frac{27 + 3^{1} \cdot 3^{2} (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$m = - \frac{27 + 3^{1 + 2} (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$m = - \frac{27 + 3^{3} (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$m = - \frac{27 + 27 (i \sqrt{23}) + 3 \cdot 3 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.4

Multipliez $3$ par $3$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 {(i \sqrt{23})}^{2} + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.5

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (i^{2} {\sqrt{23}}^{2}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.6

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 {\sqrt{23}}^{2}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.7

Réécrivez ${\sqrt{23}}^{2}$ comme $23$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{23}$ comme $23^{\frac{1}{2}}$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 {(23^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.7.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.7.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{2}{2}}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{\frac{2}{2}}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.7.4.2

Réécrivez l’expression.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23^{1}) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.7.5

Évaluez l’exposant.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 (- 1 \cdot 23) + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.8

Multipliez $9 (- 1 \cdot 23)$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $23$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} + 9 \cdot - 23 + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.8.2

Multipliez $9$ par $- 23$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 + {(i \sqrt{23})}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.9

Appliquez la règle de produit à $i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 + i^{3} {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.10

Factorisez $i^{2}$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 + i^{2} \cdot i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.11

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - 1 \cdot i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.12

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i {\sqrt{23}}^{3}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.13

Réécrivez ${\sqrt{23}}^{3}$ comme $\sqrt{23^{3}}$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i \sqrt{23^{3}}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.14

Élevez $23$ à la puissance $3$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i \sqrt{12167}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.15

Réécrivez $12167$ comme $23^{2} \cdot 23$ .

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Étape 6.2.2.1.4.1.15.1

Factorisez $529$ à partir de $12167$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i \sqrt{529 (23)}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.15.2

Réécrivez $529$ comme $23^{2}$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i \sqrt{23^{2} \cdot 23}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.16

Extrayez les termes de sous le radical.

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - i (23 \sqrt{23})}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.1.17

Multipliez $23$ par $- 1$ .

$m = - \frac{27 + 27 i \sqrt{23} - 207 - 23 i \sqrt{23}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.2.2.1.4.2.1

Soustrayez $207$ de $27$ .

$m = - \frac{27 i \sqrt{23} - 180 - 23 i \sqrt{23}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.2.2

Soustrayez $23 i \sqrt{23}$ de $27 i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{4 i \sqrt{23} - 180}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.2.3

Remettez dans l’ordre $4 i \sqrt{23}$ et $- 180$ .

$m = - \frac{- 180 + 4 i \sqrt{23}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.2.4

Annulez le facteur commun à $- 180 + 4 i \sqrt{23}$ et $8$ .

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Étape 6.2.2.1.4.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $- 180$ .

$m = - \frac{4 \cdot - 45 + 4 i \sqrt{23}}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $4 i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{4 \cdot - 45 + 4 (i \sqrt{23})}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 \cdot - 45 + 4 (i \sqrt{23})$ .

$m = - \frac{4 \cdot (- 45 + i \sqrt{23})}{8}$

Étape 6.2.2.1.4.2.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.4.2.4.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$m = - \frac{4 \cdot (- 45 + i \sqrt{23})}{4 (2)}$

Étape 6.2.2.1.4.2.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$m = - \frac{4 \cdot (- 45 + i \sqrt{23})}{4 \cdot 2}$

Étape 6.2.2.1.4.2.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$m = - \frac{- 45 + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.2.5

Réécrivez $- 45$ comme $- 1 (45)$ .

$m = - \frac{- 1 (45) + i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{23}$ .

$m = - \frac{- 1 (45) - (- i \sqrt{23})}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (45) - (- i \sqrt{23})$ .

$m = - \frac{- 1 (45 - i \sqrt{23})}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.2.1.4.2.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$m = - - \frac{45 - i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$m = 1 \frac{45 - i \sqrt{23}}{2}$

Étape 6.2.2.1.4.2.8.3

Multipliez $\frac{45 - i \sqrt{23}}{2}$ par $1$ .

$m = \frac{45 - i \sqrt{23}}{2}$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$u = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2}$